Von Kreisen auf Kugeln

Mathematik hat das Potential, mein Weltbild immer wieder von neuem auf den Kopf zu stellen¹: In der Sexta lernte ich von Herrn Kämpfer, ein Kreis sei die Menge aller Punkte, die von einem Mittelpunkt gleich weit entfernt ist. Später kam hinzu, dass sich Mengen von dieser Sorte Locus nennen und dass die Entfernung zum Mittelpunkt mit einer Vielzahl von Normen ausgedrückt werden kann, doch an meiner grundätzlichen Vorstellung von Kreis hat das wenig geändert. Bis ich heute über einen Beweis stolperte, dass jeder Kreis genau einen Mittelpunkt haben kann. Logisch? Lies weiter…

Die Essenz des Beweises ist ein Widerspruch: Wenn es tatsächlich zwei Zentren Z₁ und Z₂ gäbe, würden sich diese auf einer Geraden befinden, die auch den Kreis schneidet, in etwa so wie in der Grafik rechts. Unter der Annahme, dass Z₁ und Z₂ Zentren sind, haben wir |BZ₁| = |AZ₁| und |BZ₂| = |AZ₂|. Weil alle Punkte auf derselben Geraden liegen, gilt aber auch |BZ₂| > |BZ₁| und |AZ₁| > |AZ₂|. Gut schütteln und die Gleichungen etwas umformen ergibt |AZ₁| > |AZ₁|, und so haben wir einen Widerspruch.

Der Beweis an sich ist eigentlich nichts Erschütterndes. Was mich verblüfft hat ist, dass er nicht unter allen Voraussetzungen gültig ist. Eine erstaunliche Situation tritt auf, wenn der Raum (konvex) gekrümmt ist, zum Beispiel wenn sich unser Kreis auf einer Kugel befindet. Stell dir einen Globus vor, mit dem Äquator in der Mitte. Offensichtlich ist der Nordpol ein Punkt auf der Kugeloberfläche, von welchem alle Äquatorpunkte gleich weit entfernt sind. Gemäss der Definition ist also der Nordpol ein Zentrum vom Äquatorkreis. Dasselbe gilt aber auch für den Südpol. Die verblüffende Folge davon ist, dass jeder Kreis auf einer Kugeloberfläche zwei Zentren hat. Ob die nun auf der Innenseite oder Aussenseite des Kreises liegen, sei dahingestellt ;-)

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¹ Und anscheinend bin ich während der Prüfungszeit sehr mathesensibel. So zum Beispiel in diesem Beitrag vom letzten Semester.